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귀류법은 주어진 명제를 부정하였을 때 모순이 발생함을 보여서 원래 명제가 참임을 보이는 방법입니다. 윗 분이 설명한 방법은 귀류법이 아니라 대우 명제를 증명하는 방법입니다.
"p이면 q이다" 라는 명제가 있다고 합시다. 우리가 원하는 것은 이 명제가 참이라는 것을 보이는 것입니다. 그러기 위해서, 이 명제의 부정을 가정하였을 때 모순이 발생함을 보이면 됩니다. 그런데, "p이면 q이다"를 부정하면 어떤 꼴의 명제가 될까요?
잘 생각해봅시다. "p이면 q이다" 라는 명제는, p라는 명제가 참이라면 항상 q라는 명제가 참임을 뜻합니다. 그러므로 이 명제의 부정은 p가 참이지만 q가 거짓임을 뜻해야 합니다. 따라서, 다음이 성립합니다.
! (p이면 q이다) = p이지만 q가 아니다.
혹은 좀 더 간단하게
!(p→q) = p and !q
입니다 (사실 두 명제는 필요충분조건입니다). 귀류법을 사용할 때 결론을 부정한다는 의미가 바로 위와 같은 의미입니다. 좀 더 정확히 말하자면, "p이면 q이다" 라는 명제를 증명하고자 할 때, 그 전제인 p와 그 결론의 부정인 !q 를 동시에 가정하면 모순이 발생함을 보이는 것입니다!
이 모든 내용은 명제논리학이라는 잘 완성된 학문 분야에서 엄밀하게 배우고 또 증명할수 있습니다만, 수학적 직관력이 있다면 굳이 이를 배우지 않고도 위의 내용을 이해할 수 있을 것입니다.
자, 아무튼 원래 명제로 돌아가봅시다. a와 b가 모두 실수일 때,
a² + b² = 0 이면 a = 0 이고 b = 0 이다.
라는 명제를 증명하기 위해 우리는 귀류법을 사용하려고 합니다. 따라서 위에서 언급한 것처럼
1) 가정(전제)와
2) 결론의 부정
을 동시에 가정하면 모순이 발생함을 보이면 됩니다. 즉, 전제인 "a² + b² = 0" 을 가정하고, 결론의 부정인 "a ≠ 0 이거나 b ≠ 0" 를 가정하면 됩니다. 나머지 증명은 질문하신 분이 질문에 적은 대로입니다.
