곰개구리 블로그

- hanauma bay

- lanikai beach

- hiking hill behind lanikai beach

- water fall in a mountain between waikiki and lanikai

source : http://www.best-of-oahu.com/Hawaii-Waterfalls.html

Manoa Falls

This waterfall on Oahu is not only the closest falls from Waikiki, but also one of the most stunning Oahu Waterfalls worth visiting on the island! 

A quick 15 to 20 minute drive will take you from the Waikiki hotels to the lush Manoa Valley.  Manoa is recorded as the wettest spot on Oahu that receives more rainfall than anywhere else on the island.  Just imagine the impact this has on this Oahu waterfall…!

The trek up to the Manoa Falls is pretty much a flat trail, but can get muddy at times as you could imagine.  Stay the course for about an hour, and you will find yourself staring up at one of the tallest Oahu waterfalls -150 feet tall!

source: http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=pramisu&logNo=150025991965&redirect=Dlog&widgetTypeCall=true

귀류법은 주어진 명제를 부정하였을 때 모순이 발생함을 보여서 원래 명제가 참임을 보이는 방법입니다. 윗 분이 설명한 방법은 귀류법이 아니라 대우 명제를 증명하는 방법입니다.

"p이면 q이다" 라는 명제가 있다고 합시다. 우리가 원하는 것은 이 명제가 참이라는 것을 보이는 것입니다. 그러기 위해서, 이 명제의 부정을 가정하였을 때 모순이 발생함을 보이면 됩니다. 그런데, "p이면 q이다"를 부정하면 어떤 꼴의 명제가 될까요?

잘 생각해봅시다. "p이면 q이다" 라는 명제는, p라는 명제가 참이라면 항상 q라는 명제가 참임을 뜻합니다. 그러므로 이 명제의 부정은 p가 참이지만 q가 거짓임을 뜻해야 합니다. 따라서, 다음이 성립합니다.

! (p이면 q이다)   =   p이지만 q가 아니다.

혹은 좀 더 간단하게

!(p→q)   =   p and !q

입니다 (사실 두 명제는 필요충분조건입니다). 귀류법을 사용할 때 결론을 부정한다는 의미가 바로 위와 같은 의미입니다. 좀 더 정확히 말하자면, "p이면 q이다" 라는 명제를 증명하고자 할 때, 그 전제인 p와 그 결론의 부정인 !q 를 동시에 가정하면 모순이 발생함을 보이는 것입니다!

이 모든 내용은 명제논리학이라는 잘 완성된 학문 분야에서 엄밀하게 배우고 또 증명할수 있습니다만, 수학적 직관력이 있다면 굳이 이를 배우지 않고도 위의 내용을 이해할 수 있을 것입니다.




자, 아무튼 원래 명제로 돌아가봅시다. a와 b가 모두 실수일 때,

a² + b² = 0 이면 a = 0 이고 b = 0 이다.

라는 명제를 증명하기 위해 우리는 귀류법을 사용하려고 합니다. 따라서 위에서 언급한 것처럼

1) 가정(전제)와
2) 결론의 부정

을 동시에 가정하면 모순이 발생함을 보이면 됩니다. 즉, 전제인 "a² + b² = 0" 을 가정하고, 결론의 부정인 "a ≠ 0 이거나 b ≠ 0" 를 가정하면 됩니다. 나머지 증명은 질문하신 분이 질문에 적은 대로입니다.